בגרות קיץ 2026 מועד ב' · שאלה 4 – סולמות ועמוד: טריגונומטריה במשולש ישר זווית3 יחידות 371 · שיעור 47
📄 נוסח השאלה
שני טכנאים, גיא ושרון, נקראו לתקן תקלה בעמוד תקשורת. העמוד ניצב על קרקע מישורית בנקודה A. כל אחד מהם הביא איתו סולם והציב אותו על הקרקע בצד אחר של העמוד.
גיא הציב את הסולם שלו בנקודה C, ושרון הציב את הסולם שלו בנקודה D הנמצאת על המשך הקטע CA, כמתואר בסרטוט. שניהם השעינו את הסולם על העמוד בנקודה B.
📄 נוסח השאלה · המשך
אורך הסולם של גיא (BC) הוא 5 מטרים. גיא הציב את הסולם בזווית של 67 מעלות ביחס לקרקע (∢BCA).
א. מצאו את אורך הקטע CA.
ב. מצאו את אורך הקטע AB.
נתון כי אורך הסולם של שרון (BD) הוא 4.8 מטרים.
ג. מצאו את גודל הזווית שבה הציב שרון את הסולם ביחס לקרקע (∢BDA).
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. מצאו את המרחק בין שתי הנקודות שבהן הציבו גיא ושרון את הסולמות שלהם (CD).
סעיף א – אורך CA
העמוד ניצב על הקרקע, ולכן ∢BAC = 90 מעלות: המשולש ABC ישר זווית, והסולם BC = 5 הוא היתר.
ליד הזווית C (67 מעלות) נמצא הניצב CA. ניצב ליד הזווית ויתר ← cos:
cos67 = CABC
📐 במשולש ישר זווית
נציב BC = 5:
cos67 = CA5
CA = 5 · cos67
📐 במשולש ישר זווית
sin = cos = הניצב שמול הזוויתהיתר
הניצב שליד הזוויתהיתר
הניצב שליד הזוויתהיתר
סעיף א – אורך CA · המשך
CA = 5 · cos67
CA = 5 · 0.3907 ≈ 1.954
CA ≈ 1.95
✅ פתרון סופי: CA ≈ 1.95 מטרים
סעיף ב – אורך AB
מול הזווית C נמצא הניצב AB. ניצב מול הזווית ויתר ← sin:
sin67 = ABBC
📐 במשולש ישר זווית
נציב BC = 5:
sin67 = AB5
AB = 5 · sin67
AB = 5 · 0.9205 ≈ 4.603
📐 במשולש ישר זווית
sin = cos = הניצב שמול הזוויתהיתר
הניצב שליד הזוויתהיתר
הניצב שליד הזוויתהיתר
סעיף ב – אורך AB · המשך
AB = 5 · 0.9205 ≈ 4.603
AB ≈ 4.6
✅ פתרון סופי: AB ≈ 4.6 מטרים
סעיף ג – הזווית BDA
גם המשולש ABD ישר זווית (∢BAD = 90 מעלות), והסולם BD = 4.8 הוא היתר.
מול הזווית D נמצא הניצב AB (סעיף ב). ניצב מול הזווית ויתר ← sin:
sin(∢BDA) = ABBD
📐 במשולש ישר זווית
נציב AB = 4.603 , BD = 4.8:
sin(∢BDA) = 4.6034.8
sin(∢BDA) ≈ 0.959
📐 במשולש ישר זווית
sin = cos = הניצב שמול הזוויתהיתר
הניצב שליד הזוויתהיתר
הניצב שליד הזוויתהיתר
סעיף ג – הזווית BDA · המשך
sin(∢BDA) ≈ 0.959
נמצא את הזווית במחשבון (sin−1):
∢BDA ≈ 73.5
✅ פתרון סופי: ∢BDA ≈ 73.5 מעלות
סעיף ד – המרחק CD
הנקודות D , A , C על ישר אחד, ו־A ביניהן. לכן CD = DA + AC. נמצא את DA במשולש ABD:
BD2 = DA2 + AB2
📐 משפט פיתגורס
נציב BD = 4.8 , AB = 4.603:
4.82 = DA2 + 4.6032
23.04 = DA2 + 21.188
DA2 = 23.04 − 21.188
📐 משפט פיתגורס
c2 = a2 + b2
c – היתר, a , b – הניצבים
c – היתר, a , b – הניצבים
סעיף ד – המרחק CD · המשך
DA2 = 23.04 − 21.188
DA2 = 1.852
DA = √1.852 ≈ 1.361
עכשיו נחבר:
CD = DA + AC
נציב DA = 1.361 , AC = 1.954:
סעיף ד – המרחק CD · המשך
נציב DA = 1.361 , AC = 1.954:
CD = 1.361 + 1.954 = 3.315
CD ≈ 3.32
✅ פתרון סופי: CD ≈ 3.32 מטרים
📌 סיכום התשובות
סעיף א
CA ≈ 1.95 מטרים
סעיף ב
AB ≈ 4.6 מטרים
סעיף ג
∢BDA ≈ 73.5 מעלות
סעיף ד
CD ≈ 3.32 מטרים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא